差错控制

速查

差错控制 = 检错（CRC、奇偶校验，发现错误后重传）+ 纠错（海明码）。数据链路层通常只检错不纠错。CRC 是模 2 除法求 FCS，只能检错不能纠错；海明码可纠错，校验位在 2 的幂次 位置。考试频率 ⭐⭐⭐⭐⭐。

核心概念 ▾

差错类型

比特差错：1 变 0 或 0 变 1（数据链路层主要处理）
帧丢失 / 帧重复 / 帧乱序：由可靠传输机制处理

差错原因

热噪声 → 随机差错；冲击噪声 → 突发差错
信道质量越差，误码率越高

检错 vs 纠错

检错：只能发现错误（CRC、奇偶校验）
纠错：既能发现又能纠正（海明码）
数据链路层通常只检错，靠重传恢复

奇偶校验 ▾

在数据后附加 1 位校验位，使整个数据中 1 的个数为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）。

数据: 1011001 (4个1)
偶校验位: 0 → 发送: 10110010 (4个1, 偶数)
奇校验位: 1 → 发送: 10110011 (5个1, 奇数)

局限性

只能检测奇数个比特错误
两个比特同时出错时检测不到
检错能力弱

CRC 校验（循环冗余校验）⭐ ▾

将数据看作多项式，用生成多项式 G(x) 做模 2 除法，余数作为 FCS（帧校验序列）。

1. 数据后补 r 个 0（r = G(x) 的最高次幂）
2. 对 G(x) 做模 2 除法
3. 余数作为 FCS 附加到数据后

例：数据 M=101001，G(x)=1101（x³+x²+1）
步骤1: M 后补 3 个 0 → 101001000
步骤2: 101001000 ÷ 1101 → 余 011
步骤3: 发送帧 = 101001 011

接收方验证

收到: 101001011
用 G(x)=1101 做模 2 除法
余数 = 0  → 无差错
余数 ≠ 0 → 有差错

关键性质

CRC 只能检错不能纠错
能检测所有奇数个比特错误
能检测所有长度 ≤ r 的突发错误（r 为余数位数）
以太网使用 CRC-32（32 位 FCS）

海明码 ▾

在数据位中插入 r 个校验位，满足：2^r ≥ m + r + 1（m 为数据位数）。

码距与检错 / 纠错能力

码距：两个码字中不同位的个数
检错能力：码距 d 可检测 d − 1 个错误
纠错能力：码距 d 可纠正 ⌊(d − 1)/2⌋ 个错误

校验位位置

位号: 1  2  3  4  5  6  7
类型: P1 P2 D1 P3 D2 D3 D4
      ↑   ↑      ↑
   校验位（2 的幂次位置：1, 2, 4, 8...）

校验位覆盖

P1 覆盖位号: 1,3,5,7,...（二进制末位为 1）
P2 覆盖位号: 2,3,6,7,...（二进制倒数第 2 位为 1）
P3 覆盖位号: 4,5,6,7,...（二进制倒数第 3 位为 1）

S1 = P1⊕D1⊕D2⊕D4
S2 = P2⊕D1⊕D3⊕D4
S3 = P3⊕D2⊕D3⊕D4
S = S3S2S1 = 错误位号（000 表示无错）

常见考法 ▾

考点	说明
CRC 计算	给定数据和 G(x)，计算 FCS
CRC 检错	接收后验证是否出错
海明码计算	给定数据，计算校验位
海明码纠错	给定接收码，定位并纠正错误
检错纠错能力	码距与检错 / 纠错能力的关系

易错点 ▾

注意

CRC 是模 2 运算（异或），不是普通除法
CRC 只能检错不能纠错
海明码校验位在 2 的幂次 位置（1,2,4,8…）
海明码检错与纠错能力公式不同
以太网 CRC-32 在硬件实现，软件不需计算

核心结论 ▾

必背

CRC 是数据链路层最常用的检错方法，检错能力强
海明码可以纠错，适用于信道质量差的场景
码距 d：检错 d − 1 个，纠正 ⌊(d − 1)/2⌋ 个
数据链路层通常用 CRC 检错 + 重传 恢复

记忆卡片 ▾

CRC 校验能纠错吗？

不能，只能检错。纠错需海明码或重传。

海明码校验位的位置？

2 的幂次位置（1, 2, 4, 8…）。

码距为 d 能检错几个、纠错几个？

检错 d − 1 个，纠正 ⌊(d − 1)/2⌋ 个。

以太网使用什么校验？

CRC-32（32 位帧校验序列）。

图示 · 检错与纠错 ▾

图：奇偶校验与 CRC 只能检错；海明码能纠错。数据链路层常用"检错 + 重传"而非直接纠错。