定点数和浮点数的表示 · 融合风（象牙 + Obsidian 入口）

速查

定点数小数点位置固定（整数在末尾、小数在符号位后）；浮点数 $N = M \times r^E$，范围由阶码决定、精度由尾数决定。

速查 ▾

定点数和浮点数是计算机中表示数值的两种基本方式。

定点数：小数点位置固定不变的数。分为定点整数（小数点在最低位之后）和定点小数（小数点在符号位之后）。

定点整数范围：对于 n+1 位（含 1 位符号位），原码/反码范围为 $-(2^n-1) \sim +(2^n-1)$，补码范围为 $-2^n \sim +(2^n-1)$
定点小数范围：原码/反码范围为 $-(1-2^{-n}) \sim +(1-2^{-n})$，补码范围为 $-1 \sim +(1-2^{-n})$

浮点数：小数点位置可以浮动的数，表示为 $N = M \times r^E$，其中 M 为尾数（定点小数），E 为阶码（定点整数），r 为基数（通常为 2）。

浮点数的表示需要存储：阶符、阶码数值、数符（尾数符号）、尾数数值。当基数 r 增大时，表示范围增大，但精度降低。

规格化浮点数：尾数的最高有效位为非零值。对于原码规格化：$1/2 \le |M| < 1$；对于补码规格化（正数）：$1/2 \le M < 1$，补码规格化（负数）：$-1 \le M < -1/2$。

必记

定点整数和定点小数的补码表示范围分别是什么？

n+1 位定点整数补码范围为 $-2^n \sim +(2^n-1)$；定点小数补码范围为 $-1 \sim +(1-2^{-n})$，比原码/反码多表示一个最小负数。

浮点数的表示范围和精度分别由什么决定？

表示范围由阶码决定，精度由尾数决定。基数 r 增大时范围增大但精度降低。

浮点数溢出是由尾数还是阶码决定的？

由阶码决定。上溢（阶码过大）产生中断，下溢（阶码过小）通常当作机器零处理。

补码规格化的条件是什么？

正数：$1/2 \le M < 1$（符号位与最高数值位相反）；负数：$-1 \le M < -1/2$（最高数值位与符号位相反）。

基数为 2 时，原码规格化尾数的最高数值位是什么？

一定为1。补码规格化正数最高数值位为 1，负数最高数值位为 0。

选择一种表示方式，观察小数点（橙色）所在的位置

定点：小数点固定；浮点：由阶码决定小数点位置（尾数 M × r^E）