补码乘法手算详解 · 融合风（象牙 + Obsidian 入口）

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Booth 算法比较乘数相邻两位 Y₀Y₋₁ 决定加 / 减 / 不动：01 → +[x]补、10 → +[−x]补、00 / 11 → 只右移；符号位参与运算，无需单独处理。

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项目	值
Booth 算法	比较相邻两位，决定加/减/不操作
部分积	初始为 0，共 $n+1$ 位（循环 $n$ 步）
符号位	参与运算，不需要单独处理

核心概念 ▾

补码乘法 vs 原码乘法

比较项	原码乘法	补码乘法（Booth）
符号处理	单独处理符号位	符号位参与运算
部分积	加法 + 移位	加/减法 + 算术右移
结果	需要修正符号	直接得到补码结果
效率	一般	更高效

Booth 算法原理

Booth 算法通过观察相邻两位的跳变来决定操作：

$y_i$	$y_{i-1}$	操作	说明
`0`	`0`	只右移	连续 0，跳过
`0`	`1`	$+[x]_补$，然后右移	0→1，开始一段 1
`1`	`0`	$-[x]_补$，然后右移	1→0，结束一段 1
`1`	`1`	只右移	连续 1，跳过

核心思想将一串连续的 1（如 011110）转化为高位减、低位加（100000 - 000010），从而减少加法次数。

Booth 算法步骤

设被乘数 [x]补，乘数 [y]补，均为 n 位（含符号位）

初始化：
  A = 0（n+1 位，含附加位）
  Y = [y]补（n 位）
  Y₋₁ = 0（附加位，初始为0）
  计数器 = n

循环 n 次：
  1. 检查 Y 的最低位 Y₀ 和附加位 Y₋₁：
     - 若 Y₀Y₋₁ = 01: A = A + [x]补
     - 若 Y₀Y₋₁ = 10: A = A + [-x]补
     - 若 Y₀Y₋₁ = 00 或 11: 不操作
  2. 算术右移 A 和 Y（A 的最低位移入 Y 的最高位，Y₋₁ 移出 Y₀）
     Y₋₁ = Y₀（原来的最低位）

  （实际操作中 Y₋₁ 就是移位前 Y 的最低位）

最终结果：A 和 Y 拼接（共 2n 位，A 为高 n+1 位取高 n 位，Y 为低 n 位）
注意：结果取 A 的高 n 位 + Y 的 n 位 = 2n 位补码

手算示例 ▾

例题 1：Booth 算法手算

题目： $x = -3,\ y = 5$，用 4 位补码 Booth 算法求 $x \times y$。

准备（4 位补码）：

[x]补 = 1101, [-x]补 = 0011
[y]补 = 0101
A = 00000（5位），Y = 0101, Y₋₁ = 0

步骤	Y₀Y₋₁	操作	A（5位）	Y（4位）	Y₋₁
初始	—	—	`00000`	`0101`	`0`
1	`10`	$A = A + [-x]_补$	`00011`	`0101`	`0`
		算术右移	`00001`	`1010`	`1`
2	`01`	$A = A + [x]_补$	`11110`	`1010`	`1`
		算术右移	`11111`	`0101`	`0`
3	`10`	$A = A + [-x]_补$	`00010`	`0101`	`0`
		算术右移	`00001`	`0010`	`1`
4	`01`	$A = A + [x]_补$	`11110`	`0010`	`1`
		算术右移	`11111`	`0001`	`0`

结果： $A = 11111,\ Y = 0001$。取 A 高 4 位 1111，拼接 $Y$ 得 1111_0001。

验证： 11110001 是 8 位补码，真值 $= -(0000\,1111)_2 = -15$，而 $(-3) \times 5 = -15$ ✓

例题 2：手算验证技巧

题目： 快速验证 $-7 \times 4$ 的 4 位补码乘法结果。

直接计算：

(-7) × 4 = -28

8 位补码表示 -28：
28 = 0001 1100
取反加一 = 1110 0100

结果应为 1110 0100

Booth 算法验证（4 位）：

[x]补 = 1001, [-x]补 = 0111
[y]补 = 0100

步1: Y₀Y₋₁ = 00, 不操作, 右移 → A=00000, Y=0010, Y₋₁=0
步2: Y₀Y₋₁ = 00, 不操作, 右移 → A=00000, Y=0001, Y₋₁=0
步3: Y₀Y₋₁ = 10, A=A+[-x]补=00111, 右移 → A=00011, Y=1000, Y₋₁=1
步4: Y₀Y₋₁ = 01, A=A+[x]补=11100, 右移 → A=11110, Y=0100, Y₋₁=0

结果: A=11110, Y=0100 → 1110_0100 = -28 ✓

例题 3：符号位分析

题目： 分析为什么补码乘法中，A 需要 $n+1$ 位。

解答：

部分积 A 可能出现正溢出（被乘数为负，乘数某步做 $-[x]_补$）。
$n+1$ 位保证了算术右移时不丢失符号信息。
最终结果取 A 的高 $n$ 位 + Y 的 $n$ 位 $= 2n$ 位。

与原码乘法的对比 ▾

方面	原码一位乘	Booth 补码乘
部分积操作	仅加法	加法或减法
移位	逻辑右移	算术右移
符号	最后单独确定	运算中自然产生
判断条件	乘数位为 1 则加	相邻两位跳变决定
硬件复杂度	较低	稍高

一句话区分原码乘"看当前位、逻辑右移、最后补符号"；Booth 乘"看相邻两位、算术右移、符号自然正确"。

408 考试要点 ▾

高频设问

手算 Booth 乘法：给定两个数，手动模拟每一步。
判断加/减/移位：根据 Y₀ 和 Y₋₁ 的组合决定操作。
结果验证：用十进制乘法验证补码结果。
位数问题：注意 A 的位数为 $n+1$ 位。

易错移位必须是算术右移（高位补符号位），若误用逻辑右移，负部分积会立刻变成大正数，结果全错。

记忆卡片 ▾

Booth 算法中 Y₀Y₋₁ 的四种组合分别做什么操作？

00→右移，01→加 $[x]_补$ 再右移，10→加 $[-x]_补$ 再右移，11→右移。记忆：相同不动，01 加，10 减。

为什么部分积 A 要用 $n+1$ 位？

防止加法溢出。被乘数为负时，加上其绝对值（$[-x]_补$）可能产生进位，多一位用于保存符号扩展。

Booth 算法用的是什么移位？为什么？

算术右移。A 中是有符号数的补码，算术右移保持符号位不变（高位补符号位）。

附加位 Y₋₁ 初始值是什么？

0。它与乘数最低位 Y₀ 组成 10 时，第一次判断即可触发加 $[-x]_补$ 操作。

$n$ 位补码 Booth 乘法循环多少次？移位多少次？

循环 $n$ 次（$n$ 为含符号位的数据位数），每次最多一次加/减法和一次移位，共 $n$ 次移位。

最终乘积如何拼装？

取 A 的高 $n$ 位 + Y 的 $n$ 位，得到 $2n$ 位补码结果。

交互动画 · Booth 算法逐步演算（$-3 \times 5$） ▾

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被乘数 [x]补 = 1101，[-x]补 = 0011，乘数 [y]补 = 0101

示意图：橙色高亮为本步参与判定的 Y₀Y₋₁；下方胶囊标出命中的 Booth 判定规则。共 4 轮「判定 → 算术右移」，最终 A 高 4 位与 Y 拼接即为 8 位乘积。

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例题 1：Booth 算法手算

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