进制转换和BCD码

进制转换是计算机中最基础的数据表示方法。计算机内部使用二进制，但人类习惯十进制，因此需要掌握各种进制之间的转换方法。BCD 码是用二进制编码表示十进制数的方式。

将每一位数字乘以其对应的权值（R 的幂次），然后求和。

二进制转十进制

$$1011.1_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 1 \times 2^{-1} = 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 = 11.5_{10}$$

八进制转十进制

$$725.3_8 = 7 \times 8^2 + 2 \times 8^1 + 5 \times 8^0 + 3 \times 8^{-1} = 448 + 16 + 5 + 0.375 = 469.375_{10}$$

十六进制转十进制

$$2AF.4_{16} = 2 \times 16^2 + A \times 16^1 + F \times 16^0 + 4 \times 16^{-1} = 512 + 160 + 15 + 0.25 = 687.25_{10}$$

整数部分（除基取余法）

• 除以 R，取余数，直到商为 0；余数倒序排列即为结果。

$157_{10}$ 转二进制（余数自下而上倒序读取）：

1. 157 ÷ 2 = 78 … 1
2. 78  ÷ 2 = 39 … 0
3. 39  ÷ 2 = 19 … 1
4. 19  ÷ 2 = 9  … 1
5. 9   ÷ 2 = 4  … 1
6. 4   ÷ 2 = 2  … 0
7. 2   ÷ 2 = 1  … 0
8. 1   ÷ 2 = 0  … 1
结果：10011101₂

小数部分（乘基取整法）

• 乘以 R，取整数部分，直到小数部分为 0 或达到精度要求；整数顺序排列即为结果。

$0.6875_{10}$ 转二进制（整数部分自上而下顺序读取）：

1. 0.6875 × 2 = 1.375 → 1
2. 0.375  × 2 = 0.75  → 0
3. 0.75   × 2 = 1.5   → 1
4. 0.5    × 2 = 1.0   → 1
结果：0.1011₂

二进制 ↔ 八进制（3 位一组）

10 011 101.101₂
 2   3   5 . 5   → 235.5₈

二进制 ↔ 十六进制（4 位一组）

1001 1101.1010₂
  9    D .  A   → 9D.A₁₆

技巧：这是计算机中常用的快速转换方法。

BCD（Binary Coded Decimal）码用 4 位二进制数编码 1 位十进制数（0-9）。

• 有权码：每位有固定权值（8421 码、2421 码、5211 码）。
• 无权码：每位无固定权值（余3码、余3循环码）。

编码表

运算规则

• 两个 BCD 码相加，若结果 $\leq 9$，无需修正。
• 若结果 $> 9$ 或产生进位，需加 6（0110）修正。

例：3 + 5 = 8         例：8 + 7 = 15
  0011                  1000
+ 0101                + 0111
------                ------
  1000  → 8 无需修正     1111  → 15 > 9，需修正
                     + 0110  → 加6修正
                     ------
                     1 0101  → 进位1 + 0101 = 15 ✓

8421码加法修正步骤

1. 两数相加。
2. 若结果 $\leq 9$ 且无进位 → 直接得结果。
3. 若结果 $> 9$ 或有进位 → 加 0110 修正，产生进位。

特点

• 在 8421 码基础上加 3 得到。
• 无权码。
• 自补码：0 和 9、1 和 8、2 和 7…的编码互为取反。

编码表

余3码加法

两个余3码相加，结果进位后需减 3 修正（加 1101，即 -3 的补码）。

特点

• 有权码，权值从左到右为 2、4、2、1。
• 也是自补码。
• 编码不唯一（如 5 可以是 1011 或 0101，通常选择前者）。

编码表