定点数的表示

定点数是指小数点位置固定的数，分为定点整数（小数点在最低位之后）和定点小数（小数点在符号位之后）。原码、反码、补码、移码是四种常用的编码方式。

定义

• 最高位为符号位：0 正 1 负；其余位为数值的绝对值。
• 真值 $X$ 的原码记为 $[X]_{原}$。

定点整数原码

$X = +1011$，则 $[X]_{原} = 0,1011$；$X = -1011$，则 $[X]_{原} = 1,1011$。

n+1 位原码表示范围：$-(2^n-1) \sim +(2^n-1)$。

定点小数原码

$X = +0.1011$，则 $[X]_{原} = 0.1011$；$X = -0.1011$，则 $[X]_{原} = 1.1011$。

原码小数表示范围：$-(1-2^{-n}) \sim +(1-2^{-n})$。

原码的特点

• 直观，与真值转换简单。
• 0 有两种表示：$+0 = 00000$，$-0 = 10000$。
• 加减运算复杂，需要判断符号。

定义

• 正数：反码 = 原码。
• 负数：符号位不变，其余位取反。

转换示例

$X = +1011 \rightarrow [X]_{反} = 0,1011$；$X = -1011 \rightarrow [X]_{反} = 1,0100$。

反码的性质

• 0 有两种表示：$[+0]_{反} = 00000$，$[-0]_{反} = 11111$。
• 反码的反码 = 原码。
• 反码是补码的过渡形式，实际中较少直接使用。

定义

• 正数：补码 = 原码。
• 负数：补码 = 反码 + 1（末位加 1）。
• 快速法：从最低位开始找到第一个 1，该位及其右边不变，左边（不含符号位）取反。

定点整数补码

$X = +1011 \rightarrow [X]_{补} = 0,1011$；$X = -1011 \rightarrow [X]_{反} = 1,0100 \rightarrow [X]_{补} = 1,0101$。

n+1 位补码表示范围：$ -2^n \sim +(2^n-1)$，比原码多表示一个负数 $-2^n$。

定点小数补码

$X = +0.1011 \rightarrow [X]_{补} = 0.1011$；$X = -0.1011 \rightarrow [X]_{补} = 1.0101$。

小数补码表示范围：$-1 \sim +(1-2^{-n})$；-1 的补码为 $1.000...0$。

补码的优势

• 0 的表示唯一：$[+0]_{补} = [-0]_{补} = 00000$。
• 加减运算统一：减法可转换为加法，硬件实现简单。
• 多表示一个数：可表示 $-2^n$（最小负数）。
• 现代计算机普遍采用补码。

补码与原码的转换

• 正数：原码 = 反码 = 补码。
• 负数：原码 → 取反加 1 → 补码；补码 → 取反加 1 → 原码。

补码的数学定义

[X]补 = 2^(n+1) + X   (mod 2^(n+1))，X 为负整数
[X]补 = 2 + X          (mod 2)，      X 为负小数

定义

• 移码 = 补码的符号位取反；或移码 = 真值 + 偏置值（通常偏置值 $= 2^n$）。

示例

$X = +1011 \rightarrow [X]_{补} = 0,1011 \rightarrow [X]_{移} = 1,1011$；$X = -1011 \rightarrow [X]_{补} = 1,0101 \rightarrow [X]_{移} = 0,0101$。

移码的特点

• 移码的大小可以直接比较（与真值大小顺序一致）。
• 0 的移码表示唯一：$[0]_{移} = 1,00...0$（即偏置值 $2^n$ 本身，8 位时 $[0]_{移} = 10000000$）。
• 用于浮点数的阶码表示。
• 移码全 0 表示最小负数，全 1 表示最大正数。

编码	正数	负数	0 的表示	特点
原码	不变	符号 + 绝对值	$\pm0$ 两种	直观，运算复杂
反码	不变	除符号外取反	$\pm0$ 两种	过渡编码
补码	不变	反码 + 1	唯一	最常用，加减统一
移码	补码符号取反	补码符号取反	唯一	用于阶码，可直接比较

编码	n+1 位整数范围	n+1 位小数范围
原码	$-(2^n-1) \sim +(2^n-1)$	$-(1-2^{-n}) \sim +(1-2^{-n})$
反码	$-(2^n-1) \sim +(2^n-1)$	$-(1-2^{-n}) \sim +(1-2^{-n})$
补码	$-2^n \sim +(2^n-1)$	$-1 \sim +(1-2^{-n})$