浮点数和IEEE754

浮点数是表示实数的方法，小数点位置可浮动。IEEE 754 是现代计算机普遍采用的浮点数标准，定义了单精度（32 位）、双精度（64 位）等格式。

表示形式

$$N = (-1)^S \times M \times R^E$$

• $S$：符号位（0 正 1 负）
• $M$：尾数（Mantissa），定点小数
• $E$：阶码（Exponent），定点整数
• $R$：基数（通常为 2）

示例

$$+101.11_2 = +0.10111 \times 2^3$$

$S=0$，$M=0.10111$，$E=3$，$R=2$

浮点数的规格化

• 目的：使尾数最高有效位为 1（最大化精度）。
• 左规：尾数左移，阶码减小，直到最高位为 1。
• 右规：尾数右移，阶码增大，用于处理溢出。

格式定义

单精度（float，32 位）

| S(1位) | E(8位) | M(23位) |
|--------|--------|---------|
| 31     | 30-23  | 22-0    |

双精度（double，64 位）

| S(1位) | E(11位) | M(52位) |
|--------|---------|---------|
| 63     | 62-52   | 51-0    |

扩展精度（80 位）

| S(1位) | E(15位) | M(64位，含1位显式整数位) |

隐含位（隐藏 1）

• 规格化数的尾数默认最高位为 1，不存储。
• 实际尾数 = 1.M（单精度 1+23 位，双精度 1+52 位）。
• 这样 23 位尾数实际精度为 24 位。

阶码的偏移值（Bias）

• 单精度：$\text{Bias} = 127$（$2^7-1$）；双精度：$\text{Bias} = 1023$（$2^{10}-1$）。
• 实际阶码 = 存储值 − Bias；存储值 = 实际阶码 + Bias。

特殊值

非规格化数（Denormalized）

• 阶码全 0、尾数非 0，没有隐含的 1。
• 用于表示非常接近 0 的数。
• 最小非规格化数：$\pm 2^{-149}$（单精度）。

加减运算步骤

1. 对阶：小阶向大阶看齐（尾数右移，阶码增大）。
2. 尾数加减。
3. 规格化：左规（结果尾数太小，左移直到最高位为 1）；右规（结果溢出，右移 1 位，阶码 +1）。
4. 舍入。
5. 溢出判断（阶码溢出）。

对阶详解

例：$1.01 \times 2^3 + 1.10 \times 2^1$

• 小阶向大阶看齐：$1.10 \times 2^1 = 0.0110 \times 2^3$。
• 尾数相加：$1.0100 + 0.0110 = 1.1010 \times 2^3$。

舍入方法

• 0 舍 1 入：类似四舍五入，舍去位 $\geq 1$ 则末位 +1。
• 恒置 1：右移后末位恒置 1。
• 截断法：直接截断，最简单但误差最大。
• 就近舍入（Round to nearest）：IEEE 754 默认，四舍六入五取偶。

溢出判断

• 阶码上溢：阶码 $>$ 最大值 → 结果为 $\pm\infty$。
• 阶码下溢：阶码 $<$ 最小值 → 结果为 0 或非规格化数。

经典精度陷阱

• $0.1 + 0.2 \neq 0.3$（在 IEEE 754 中）。
• $0.1_{10} = 0.0001100110011\ldots_2$（无限循环小数）。

单精度 vs 双精度

单精度

• 最大规格化数：$\pm(2-2^{-23}) \times 2^{127} \approx \pm 3.4 \times 10^{38}$。
• 最小规格化数：$\pm 1.0 \times 2^{-126} \approx \pm 1.2 \times 10^{-38}$。
• 最小非规格化数：$\pm 2^{-149} \approx \pm 1.4 \times 10^{-45}$。